Всероссийская олимпиада школьников по математике. Решение задач онлайн

Всероссийская олимпиада школьников по математике

По кругу стоят 10¹⁰⁰⁰ натуральных чисел.

Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.
Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10¹⁰⁰⁰ последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
(придумал и пробил эту задачку на олимпиаду России по математике С. Берлов)
 


Ответ. Не могут.

«Авторское» супер-решение С. Берлова. 

Пусть n = 10¹⁰⁰⁰. Обозначим исходные числа (в порядке обхода) через a₁, ... , a_n;
мы будем считать, что a_n+1 = a₁. Положим b_i = НОК(a_i, a_i+1).
Предположим что числа b₁, ... , b_n - это n подряд идущих натуральных чисел.
Рассмотрим наибольшую степень двойки 2^m, на которую делится хотя бы одно из чисел a_i. Заметим, что ни одно из чисел b₁, ... , b_n не делится на 2^m+1.
Пусть для определённости a₁ кратно 2^m; тогда b₁ кратно 2^m и b_n кратно 2^m.
Значит, b₁ = 2^mx и b_n = 2^my при некоторых нечётных x и y.
Без ограничения общности можно считать, что x < y.
Тогда, поскольку b₁, ... , b_n образуют n последовательных чисел, среди них должно быть и число 2^m(x + 1) (поскольку 2^mx < 2^m(x + 1) < 2^my).
Но это число делится на 2^m+1 (так как x + 1 четно), что невозможно.
Противоречие.
Комментарий.
Только ответ - 0 баллов.
Доказано, что среди исходных чисел есть два числа, делящихся на 2^k
(число k определено в решении) - 2 балла.
Индивидуальная подготовка к ЕГЭ

Репетитору прикольный анекдот рассказал другой крутой репетитор по математике - Андрей Дипломов Курсовой Контрольный

Завтракай как король, обедай как принц, ужинай как нищий.
Вроде бы всё так, но у репетиторов всё иначе.
Завтракает репетитор как король - этого не хочу, того не буду.
Обедает учитель как принц - ну, не знаю, может и поем...
Ужинает преподаватель как нищий - жру всё, что найду!
Вот такие мы репетиторы весёлые! Прикольно учить математике!

 

После этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.
Репетитор Плюс Skype — ассоциация частных преподавателей Москвы.
Репетиторы английского языка, математики, физики, экономики, химии

Скачать задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

можно на онлайн уроках с репетитором по скайпу! Решение задач по физике

 

Школьные математические олимпиады

Книга содержит условия и решения задач, предлагавшихся на III этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в Москва (Россия - родина беглых Нобелевских лауреатов и учёных репетиторов по математике). Содержит необходимые инструкции, критерии оценивания, непосредственно сами задания и полный их разбор (ответы с пояснениями).

Рассказала Репетитор Тоня Курсовая Контрольная

Репетитор немецкого языка в Москве Рабинович приходит домой и говорит жене с улыбкой:
- А меня с работы уволили!
- Яша, я не поняла, а что это ты радостный-то такой?
- А остальных репетиторов английского языка, математики, физики, химии и экономики посадили.
Репетиторы Подмосковья смеялись!
Методика дистанционного обучения. Английский язык. Математика, физика. Другие предметы ЕГЭ. Химия - последняя.
 

Репетиторы по математике, учителя физики, преподаватели английского и немецкого языка в Москве - «Репетитор Плюс Скайп»

Репетиторы английского языка, математики, физики, химии. Предметы: Французский язык, Немецкий язык, Английский язык. 

Репетиторы - Носители Немецкого языка / Native German speakers
Изучение Немецкого языка с носителем имеет неоспоримые преимущества: быстрое преодоление языкового барьера, изучение грамматики, постановка правильного красивого произношения и пополнение словарного запаса.
На этой странице Вы можете найти репетитора -
репетитор-по-математике.рф/Okolodoma/Arepetit/GMAT.html

Комментарии по предметам: подготовка к ЕГЭ. Оказание помощи в изучении немецкого языка в рамках школьной программы.

IGCSE Mathematics Revision and Help before Cambridge International Examinations
Репетитор немецкого и английского языка от 5600 р/мес. Удобное расписание!